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Les aventuriers du pentagone oublié


Jean-Jacques Dupas

La récente découverte d'un pentagone permettant de paver le plan est l'occasion de reparler d'un personnage attachant : Marjorie Rice. Femme au foyer américaine, elle se cachait dans sa cuisine pour s'adonner à sa passion des mathématiques.


Les problèmes de pavage, tout comme certaines grandes conjectures en arithmétique, ont ceci de délectable qu’ils sont compréhensibles par un enfant de 5 ans. En réalité, ils sont d’une difficulté inouïe !

L’énoncé du problème est simple : quels sont les polygones convexes qui pavent le plan ? C’est-à-dire que l’on considère des copies d’un polygone de base, sans creux ni trous, et que l’on essaie de les assembler sur le plan sans qu’elles ne se chevauchent ni ne laissent de trous. Les carreaux carrés de faïence qui ornent vos sols où vos murs répondent au problème. Pour les polygones réguliers (polygones dont tous les côtés font la même longueur et dont tous les angles font la même mesure), on sait depuis l’Antiquité et Aristote que seuls le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone régulier pavent le plan. Mais les carreaux de faïence ne sont pas tous carrés : il y a par exemple des rectangles.


Une tuile mathématique !

En fait, tous les triangles pavent le plan, ainsi que tous les quadrilatères. Karl Reinhardt a prouvé en 1918, dans sa thèse de doctorat de l’université de Francfort, que seules trois familles d’hexagones convexes pavent le plan. ... Lire la suite gratuitement


références

Martin Gardner, les pavages et la ménagère. François Lavallou, Tangente 136, 2010.
On Tessellating the Plane with Convex Polygon Tiles. Martin Gardner, Scientific American 232, juillet 1975.
In praise of Amateurs. Doris Schattschneider, dans The Mathematical Gardner, Weber & Schmidt, 1981.