Des droites dont la direction varie continûment peuvent laisser deviner la courbe dont elles seraient toutes des tangentes. Ces courbes enveloppées de lignes droites apparaissent comme caustiques en optique. Leurs propriétés génèrent des méthodes de construction géométrique.
Si l'on efface une courbe plane après avoir tracé un grand nombre de ses tangentes, la figure obtenue « garde le souvenir » de la courbe originelle comme enveloppe de l'ensemble des droites. Plus généralement, pour une famille de courbes à un paramètre d'équation f (x, y, 
) = 0, l'enveloppe est une courbe tangente à chacune des courbes de cette famille. La détermination des enveloppes est l'un des grands problèmes de la géométrie différentielle, qui revient à résoudre le système :
=0\\ \frac{\partial f}{\partial \lambda}(x,y, \lambda)=0 \end{array} \right.)
Sa résolution fournit dans le cas général une solution paramétrée
\\ y=v(\lambda) \end{array} \right.)
et, si l'on arrive à éliminer le paramètre , une solution implicite g (x, y) = 0.
Savoir prendre la tangente
Des enveloppes de solutions régulières peuvent apparaître comme solutions singulières d'équations différentielles. Prenons l'exemple d'une famille (F) de cercles de rayon R centrés sur l'axe des abscisses. Leur équation est ^2+y^2=R^2)
. En dérivant cette équation par rapport à x, on obtient la relation+yy'=0)
, ce qui conduit à l'équation différentielle y2 (y'2 + 1) = R2 vérifiée par cette famille de cercles. Outre les solutions circulaires régulières, on voit apparaître des solutions singulières à ...
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