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L'inépuisable théorème des nombres premiers


Hervé Lehning

Les nombres premiers sont une source intarissable de surprises mathématiques : ils sont infinis mais rares et, quand on veut les dénombrer, on voit apparaître des fonctions transcendantes, comme la fonction zêta de Riemann, a priori très éloignées de l'arithmétique.


 Le mathématicien norvégien Atle Selberg.

 

Traditionnellement, les nombres premiers sont définis comme les nombres sans diviseur autre qu’eux-mêmes et l’unité. Pour éviter d’y inclure le nombre 1, de nos jours, cette définition s’écrit souvent de la façon suivante : un nombre premier est un entier ayant exactement deux diviseurs. 

Dans l’Antiquité, Ératosthène (276-194 avant notre ère) a montré comment déterminer les nombres premiers inférieurs à un nombre donné, en éliminant tous ceux qui ne le sont pas (voir Tangente 149). Par exemple, pour connaître la table de tous les nombres premiers inférieurs à 150, on commence par dresser la table de tous les nombres de 2 à 150. On garde 2, qui est premier, et on supprime ses multiples, ce qui ne demande aucun calcul : il suffit en effet de se déplacer de deux en deux dans la table. On recommence avec le premier nombre non supprimé, c’est-à-dire 3, en opérant de même, et ainsi de suite. On obtient le tableau ci-dessous.
 
Crible d’Ératosthène : les multiples de 2 sont teintés en bleu clair, ceux de 3, 5, 7 et 11 sont en couleurs de plus en plus foncées. Les ... Lire la suite