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Approcher une fonction et épouser sa courbe


Hervé Lehning

En supposant qu'une fonction est un polynôme, on obtient des formules approximatives intéressantes. On peut ainsi remplacer une fonction compliquée par un polynôme, ce qui simplifie la plupart des calculs. De façon plus étonnante, l'interpolation est au coeur d'une technique de partage de secrets.



 

Le problème de l’interpolation polynomiale est le suivant : on connaît une fonction par ses valeurs y0y1y2… yN en un certain nombre N + 1 de points x0x1x2… xN, et on cherche un polynôme P prenant les mêmes valeurs aux mêmes points, c’est-à-dire tel que P(xi) = yi pour tout i compris entre 0 et N.

 

Par cinq points, il passe une et une seule courbe dont l’équation est un polynôme de degré au plus 4.

 

 

 

La condition se traduit par autant d’équations qu’il y a de points, donc N + 1. A priori, P peut être déterminé de façon unique s’il correspond au même nombre de paramètres, ce qui se produit si l’on impose à P d’être de degré au plus égal à N (le nombre de points, moins un). En effet, la question équivaut alors à un système linéaire ayant autant d’équations que d’inconnues à résoudre, ce qui, sauf cas exceptionnel, admet toujours une solution unique.

Afin d’être plus concret, considérons trois points distincts (x0, y0), (x1, y1) et (x2, y2), et cherchons un polynôme du second degré, sous la forme P (x) = ax2 + bx + c, tel que P (x0) = y0, P (x1) = y1 et P (x2) = y2. La question revient à résoudre le système suivant : 

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