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Apparue dans le cadre de la résolution d'équations au XIXe siècle, et vite devenue inévitable, la notion de groupe a permis de mettre en exergue des analogies entre des situations a priori bien différentes. Essayons de comprendre pourquoi les mathématiciens ont l'esprit de groupe.


Voici quatre objets alignés.

Vous pouvez les réorganiser autrement, par exemple en agissant ainsi : 

Une première permutation,  : 

 

Ce réarrangement est une permutation des quatre objets.

Il existe bien d'autres permutations ; en voici une deuxième.  

Une deuxième permutation,  

 


Quand les structures sont les mêmes…
 

Voilà un jeu bien amusant ; quelle structure se cache derrière tout ça ?

Ce qui peut paraître surprenant au premier abord, c'est le fait de considérer que l'ensemble des
permutations de quatre objets n'est pas sans rappeler l'ensemble des entiers relatifs. Pour s'en rendre compte, il ne faut pas seulement s'intéresser à ces deux ensembles comme de simples collections d'objets, mais les munir aussi d'une opération. Pour les entiers, ce sera l'addition. On peut toujours additionner deux entiers : le résultat de cette opération produit encore un entier.

Pour ... Lire la suite


références

- Évariste Galois, un génie romantique. Tangente SUP 60, 2011.
- Henri Poincaré, le dernier savant universel. Tangente SUP 67-68, 2013.
- La symétrie ou les maths au clair de Lune. Marcus du Sautoy, Héloïse D'Ormesson, 2012.
- Groupes finis : les mathématiques du Rubik's Cube. Cours proposé par Pierre Guillot, Viktoria Heu et Nicolas Pastant, Université de Strasbourg, disponible en ligne.