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Un nombre complexe, c'est quoi ?


Gilles Cohen

L'ensembledes nombres complexes s'est imposé (avec difficulté) quand il s'est agi de trouver, au-delà des nombres réels, toutes les solutions d'une équation du second degré. Ce qui n'avait pas été prévu, c'est sa richesse et les liens qu'il allait tisser avec l'ensemble des mathématiques. Premières découvertes.


Les nombres complexes, on l’a compris, sont issus de la volonté d’accéder à une résolution des équations algébriques (annulation d’un polynôme), et plus particulièrement des équations du second degré.

 

Le nombre i, un symbole

Le point de blocage, qui a mis des siècles à être accepté, est la résolution de l’équation, pourtant élémentaire, X2 = -1. Elle a donné naissance à la création de i, ce nombre appelé « imaginaire » car impossible à rattacher aux nombres « réels » qui constituaient jusque là l’environnement universellement admis du calcul algébrique.

Le séisme peut être comparé à la révolution qui a secoué l’école pythagoricienne quand l’existence des nombres irrationnels a été mise à jour.

Le nombre i est le symbole d’une nouvelle approche des mathématiques. Il permet dans un premier temps de résoudre l’ensemble des équations de degré 2 à coefficients réels en mettant en évidence deux racines, même quand le discriminant est négatif (voir encadré). 

Les racines d’une telle équation s’écrivent de manière unique sous la forme z = a + ... Lire la suite