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ℂ est un corps algébriquement clos


Hervé Lehning

Le corps ℂ des complexes a été construit pour fournir des solutions à toutes les équations du second degré. La surprise est qu'il contient aussi celles de toutes les équations algébriques à coefficients dans ℂ. En termes savants, il est algébriquement clos.


Ne vous laissez pas impressionner par le vocabulaire : un corps n’est rien d’autre qu’un ensemble où il est possible d’effectuer des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions selon les règles habituelles. 

 

ℝ, complet au sens analytique, inachevé au sens algébrique 

Attardons-nous d’abord sur l’ensemble , celui des nombres rationnels (quotients de deux entiers), car il correspond à un certain achèvement, que n’ont ni , ni , respectivement ensembles des entiers positifs et relatifs. Les quatre opérations y ont bien leurs propriétés habituelles (associativité, commutativité, distributivité), mais, de plus, leurs résultats restent dans . Autrement dit, elles y sont « internes » à l’exception près que l’on ne peut pas diviser par zéro. En résumé, est un corps et, dans ce sens, il a un côté « achevé ». 

Le corps convient pour toutes les applications pratiques où les approximations suffisent. Cependant, il ne contient aucun nombre correspondant à certaines quantités ... Lire la suite