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Les nombres complexes de module 1


François Lavallou

De simples symboles formels pour le calcul algébrique, les nombres complexes deviennent, par leur interprétation géométrique, d'un usage courant à partir du XIXe siècle… dans presque tous les domaines mathématiques ! Ils interviennent ainsi naturellement en théorie des nombres.


Il est souvent difficile de cerner l’apport des divers contributeurs d’un concept. Comme disait Farkas Bolyai, pour presser son fils János de rédiger au plus vite ses idées sur la géométrie non euclidienne :

« Quand le temps est mûr pour certaines choses, celles-ci apparaissent en divers endroits un peu comme des violettes qui éclosent au début du printemps. »

La notion de nombre complexe ne déroge pas à ce constat. Ainsi, le Danois Caspar Wessel (1745–1818) fut le premier à proposer une interprétation géométrique des imaginaires dans son traité Essai sur la représentation analytique de la direction en 1799. Mais, par sa vision mathématique, ses démonstrations illustrées par des figures géométriques, l’« Essai » de Jean-Robert Argand en 1806 peut être considéré comme le texte fondateur de la représentation géométrique des nombres complexes.

 
Des racines primitives

Les coordonnées polaires sont particulièrement bien adaptées pour les nombres complexes. À un point M du plan réel de coordonnées (r cos (), r sin ()), on fait correspondre dans le plan complexe l’affixe z = r (cos ()+i sin (Lire la suite