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Nombres complexes et trigonométrie


Jean-Pierre Friedelmeyer

Le lien entre l'exponentielle et les fonctions trigonométriques usuelles (les fonctions circulaires) est bien connu de ceux qui ont étudié des mathématiques. Ce qui est moins connu, c'est que cette relation s'étend, pour les besoins du génie électrique, aux fonctions hyperboliques !


En 1748, alors qu’il dirige la classe de mathématiques de l’Académie de Berlin, Leonhard Euler publie en latin un ouvrage remarquable et qui fera date, sous le titre Introductio in Analysin infinitorum. Cette Introductio rompt l’ancrage du calcul différentiel dans les figures géométriques qui donnaient jusque-là sens et consistance aux outils de calcul. Pour cela, Euler va inverser l’ordre d’exposition habituel et la hiérarchie des disciplines : il va développer d’abord dans un premier volume le calcul des quantités numériques et algébriques par l’intermédiaire de l’étude des fonctions, avant d’aborder, dans un second volume, les questions de géométrie. Cette inversion lui permettra de dégager les relations purement numériques entre des fonctions trigonométriques définies jusque-là de manière géométrique avec la fonction exponentielle et les nombres complexes.


Les formules d’Euler

Après avoir déterminé les développements en série des principales fonctions classiques de l’analyse, Euler donne les célèbres formules qui portent son nom (x désigne un réel quelconque) :

      

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références

- Les angles. Bibliothèque Tangente 53, 2015.
- Tables of complex hyperbolic and circular functions. Arthur Kennelly, Cambridge (Harvard University Press), 1921
- Introduction à l’analyse infinitésimale. Leonhard Euler, Barrois aîné, 1796–1797 (réimpression Jacques Gabay, 2007).
- The application of hyperbolic functions to electrical engineering problems. Arthur Kennelly, University of London Press, 1912.