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Conjugué, module et arguments.
Une puissante dualité entre algèbre et géométrie


Fabien Aoustin

Une fois admise l'existence d'un nombre i tel que i²=-1, ne risque-t-on pas de perdre le contact avec la réalité physique ? Au contraire, une correspondance profonde et féconde se met en place : des questions de géométrie pure sont réglées par de simples manipulations algébriques.


Prenons deux nombres complexes, z1 = 19 + 4i et z2 = 3 + 2i. Les additionner, les soustraire ou les multiplier ne pose pas de problème particulier, il suffit de bien se souvenir que i2 = – 1. En revanche, la division peut être plus délicate. Une astuce consiste à bien utiliser la conjugaison. Aucun rapport avec le plus-que-parfait du subjonctif ! « Conjuguer » un nombre complexe consiste simplement à changer le signe de sa partie imaginaire. Ainsi, le conjugué de z2, qu’on note en général  est égal à 3 – 2i. Quel intérêt ici ? Regardez ce que donne le produit d’un nombre complexe par son conjugué :





Le résultat est toujours un nombre réel !

 

Revenons maintenant à notre calcul de quotient. Pour bien s’y prendre, il suffit de multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur :

En développant le tout, on obtient finalement : 

 

Des arguments à faire valoir

L’intérêt de la conjugaison (et des nombres complexes) ne se limite pas à ces aspects algébriques. C’est l’aspect bidimensionnel de ces nouveaux nombres qui ... Lire la suite