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L'étude des isométries du plan (symétries, translations, rotations...) peut parfois donner le vertige. Que devient un point ou une figure lorsque l'on applique successivement plusieurs transformations ? Les nombres complexes en donnent une représentation aussi élégante que lumineuse.


La plus simple des rotations consiste sûrement à effectuer un demi-tour. Plaçons-nous dans le plan complexe d’origine O et considérons un point M d’affixe z = x + iy. Son image M’ par la rotation de centre O et d’angle π radians (ou 180 °) a pour affixe z’ = –x – iy. On a donc z’ = –1 × z.

 

 

Et pour effectuer un quart de tour seulement ? Existe-t-il un nombre a tel que cette rotation soit décrite par une relation du type z’ = az ? Si c’est le cas, on aurait a2 = – 1. En effet, appliquer deux fois une rotation d’un quart de tour revient à effectuer un demi-tour ! Les seules solutions sont a = i et a = – i : tout dépend du sens dans lequel on tourne.

 

Une autre façon de voir les rotations

En fait, ce petit résultat se généralise assez facilement. Les rotations de centre O et d’angle correspondent exactement aux applications qui, à z, font correspondre

 

 

 

Et si le centre de ... Lire la suite