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Des similitudes intéressantes...


Fabien Aoustin

L'étude des isométries se traite bien du point de vue des nombres complexes. Ces transformations ne sont cependant pas les seules à pouvoir être décrites par des formules simples ! Si l'on s'affranchit de la conservation des longueurs, la vaste famille des similitudes s'offre à nous.


Les isométries conservent les longueurs. On peut cependant facilement imaginer une transformation qui conserve la forme des objets sans nécessairement en conserver la taille. C’est par exemple ce qu’il se passe sur le schéma : le portrait de Carl Friedrich Gauss reste semblable mais se retrouve légèrement tourné, tout en voyant sa taille modifiée.

 

 

On peut même imaginer des modifications de taille composées avec des retournements, comme avec le portrait de la célèbre laitière ci-dessous.

 

 

Toutes ces applications transforment une figure en une autre figure qui lui est semblable. Un peu moins prosaïquement, ces applications conservent les rapports des distances, ou, ce qui revient au même, multiplie toutes les distances par un même nombre positif k. Ces transformations géométriques ont été baptisées similitudes par les géomètres. Elles ne sont en fait que le résultat de la composition (l’« enchaînement ») d’une isométrie et d’une homothétie de rapport k, c’est-à-dire d’une réduction (si k est compris entre 0 et 1) ou d’un agrandissement (si k est plus grand que 1). Dans le cas où les figures ne sont pas retournées (comme ... Lire la suite