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Une autre transformation : l'inversion


Fabien Aoustin

Les isométries (et plus généralement les similitudes) ne sont pas les seules transformations du plan qui se décrivent facilement à l'aide des nombres complexes. C'est aussi le cas de l'inversion.


Cette transformation géométrique associe à chaque point M différent de l’origine le point M’ aligné avec O et M tel que OM × OM’ = 1. Son principal intérêt est de laisser stable l’ensemble des cercles et droites du plan. Son expression complexe est tout simplement 

 

L’inversion peut être utilisée pour démontrer le théorème de Mohr–Mascheroni, qui affirme que toute construction à la règle et au compas peut être effectuée au compas seul. D’un point de vue plus pratique, c’est sur l’inversion que repose l’inverseur de Peaucellier, un dispositif qui doit son nom à son inventeur et qui transforme un mouvement circulaire en mouvement rectiligne.

 

Image d’une droite par l’inversion

 

Considérons une droite Δ d’équation y = ax. Tout point de cette droite à une affixe z de la forme z = x + iax. On en déduit que 

On remarque que 

 En fait, l’image de Δ (privée de l’origine) par l’inversion est la droite Δ elle-même ! D’autres cas peuvent se traiter aisément. Considérons une droite D d’équation ... Lire la suite