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La fonction zêta et l'hypothèse de Riemann


Jean-Jacques Dupas

Le problème le plus important des mathématiques contemporaines peut être formulé de manière tout à fait élémentaire avec seulement quelques rudiments d'analyse complexe. Malgré les efforts titanesques des mathématiciens, l'hypothèse de Riemann résiste et reste hors d'atteinte.


L’hypothèse de Riemann est le saint Graal des mathématiques. Bernhard Riemann (1826–1866), l’un des plus grands mathématiciens du xixe siècle, l’a formulée en 1859 dans son Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Cette conjecture jette un pont entre deux domaines des mathématiques qui n’ont a priori aucun rapport : les nombres premiers et une fonction analytique, la fonction z (« zêta »). Cela fait donc plus de cent cinquante ans que les mathématiciens tentent, en vain jusqu’à présent, de transformer cette conjecture en théorème.

 

La série harmonique diverge

Qu’est-ce que la fonction zêta ? La brique de base de la fonction zêta est la série de Dirichlet

Pour s = 1, on retrouve la série harmonique, qui est divergente, c’est-à-dire que la somme 

peut être rendue aussi grande que l’on souhaite. La divergence de la série harmonique avait été remarquée par Nicolas Oresme au xive siècle, puis démontrée par Pietro Mengoli en 1650.

Euler reprend l’étude dans le cas où s est un entier positif. En 1735, il écrit : « Tant d’études ont été réalisées sur les ... Lire la suite


références

The Riemann Hypothesis, A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike. Peter Borwein, Stephen Choi, Brendan Rooney and Andrea Weirathmueller, Springer, 2007.
Bernhard Riemann. Les génies de la science 12, Pour la science, août 2002.
Mathématiques : nouveaux défis et vieux casse-tête. Les dossiers de La Recherche 20, août 2005.
Suites et séries. Bibliothèque Tangente 41, 2011.
Les fonctions. Bibliothèque Tangente 56, 2016.