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Enseigner les complexes en France


Élisabeth Busser

Les nombres complexes, s'ils paraissent évidents dans le libellé des programmes scolaires d'aujourd'hui, n'ont pas toujours fait partie du corpus d'enseignement des lycées.


Débarqués en 1963 en terminale scientifique (la fameuse « math élém »), ils y font une arrivée timide, définis comme des couples de réels, sur lesquels on a plaqué une forme artificielle de multiplication (ab) × (cd) = (ac – bd, ad + bc), qui semblait aux élèves venir d’une autre planète. Ils prennent, dans les programmes de 1966, une meilleure place, avec leur structure algébrique de « corps » clairement énoncée, et leur cortège d’applications : forme trigonométrique, formule de Moivre, racines nèmes, résolutions d’équations du second degré à coefficients réels ou complexes.

Puis vinrent, dans les années 1970, les « maths modernes » : elles induisent dès 1971 dans les programmes scolaires une nouvelle présentation des nombres complexes, définis cette fois comme matrices de similitudes directes planes puisque le programme évoque bien « le corps des matrices  » et en fait un espace vectoriel sur , sur lequel on a même officiellement requalifié l’inégalité triangulaire en « inégalité de Minkovski ». Les programmes de terminale C de 1982 semblent, aux élèves en tout cas, plus réalistes, en abandonnant algèbre des matrices et espace vectoriel, mais font apparaître la forme exponentielle des nombres complexes ainsi que la linéarisation des polynômes.

Disparu en 1987, réintégré dans les programmes de terminale désormais appelée S en 1994, disparu dans les programmes de 2002, le thème de la linéarisation des polynômes semble très fluctuant. Les nombres complexes font en tout cas aujourd’hui toujours partie de l’enseignement obligatoire de terminale S, mais, vus « essentiellement comme constituant un nouvel ensemble de nombres avec ses opérations propres », ils sont censés s’inscrire « dans la perspective d’un approfondissement lors d’une poursuite d’études ».

Aujourd’hui, le thème des complexes figure toujours en bonne place dans les énoncés de problèmes de bac S, donnant parfois lieu à des interprétations assez esthétiques, comme la construction à la règle et au compas d’un pentagone régulier (Pondichéry, 2016), ou l’évocation d’une ligne brisée infinie de longueur finie (Centres étrangers, 2014), ou, plus joli encore, la modélisation d’une coquille de nautile (Centres étrangers, 2016).

 

Modélisation d’une coquille de nautile.