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Au détour des complexes


Élisabeth Busser

Détourner son chemin, au cours d'une démonstration, pour emprunter celui des nombres complexes, peut conduire à l'un de ces « inattendus mathématiques » salvateurs.


 

Un exemple classique de ce genre d’aventure est la démonstration du résultat suivant : si deux entiers sont sommes de quatre carrés, il en est de même de leur produit.

L’usage des complexes au cours de cette démonstration va nous faciliter considérablement la tâche ! Supposons en effet que les entiers A et B s’écrivent A = a2 + b2 + c2 + d2 et B = p2 + q2 + r2 + s2. Il suffira d’introduire les nombres complexes z = a + ib, t = c + id, u = p + iq et v = r + is pour pouvoir écrire

qui n’est rien d’autre que  qui est bien une somme de quatre carrés, chacun des deux termes étant somme de deux carrés. Ce résultat bien pratique intervient en particulier dans la démonstration du théorème des quatre carrés de Lagrange : il permet de démontrer que tout entier est somme de quatre carrés en n’utilisant que les nombres premiers.

Un autre exemple, moins classique, de détour avantageux par les complexes est celui que citent nos collègues du Québec, Alain Desparois et ... Lire la suite