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Quatre auteurs pour un théorème


François Lavallou

Le Tangram consiste à réunir sept pièces polygonales pour obtenir une forme donnée. Qu'en est-il du problème inverse ? Quand deux figures peuvent-elles être solution du même puzzle ? Quand peut-on obtenir la même décomposition en formes élémentaires pour ces deux figures ? Un résultat célèbre répond complètement à la question.


Prenez vos deux polygones préférés, P1 et P2, comme l’hexagone régulier et le carré. Une condition nécessaire pour que P1 et P2 acceptent la même décomposition polygonale (ils sont alors dits équidécomposables) est, bien évidemment, qu’ils aient la même aire (ils sont alors dits équivalents).

On se convainc aisément que le fait, pour P1 et P2, d’être « équivalents » définit bien, au sens technique du terme, une relation d’équivalence sur l’ensemble des polygones. Une relation d’équivalence satisfait en effet trois propriétés : la réflexivité (P1 a bien la même aire que lui-même), la symétrie (si P1 a la même aire que P2, alors P2 a la même aire que P1) et la transitivité (si P1 et P2 ont même aire et si P2 et P3 ont même aire, alors P1 et P3 ont aussi la même aire).

 

Une paternité partagée 

Vérifier la justesse d’une équidécomposition nécessite implicitement le déplacement des pièces constituant le premier polygone pour former le second. Ces déplacements sont des opérations caractéristiques d’une géométrie. Ainsi, notre géométrie euclidienne repose sur le groupe des similitudes, composé de translations, homothéties et rotations. Puisque les pièces déplacées sont invariantes, on se restreint au groupe des ... Lire la suite


références

Tentamen iuventutem studiosam in elementa matheosos introducendi. Farkas Bolyai, 1833.
Équidécomposabilité des polygones plans. Jean-Pierre Friedelmeyer, L'Ouvert 117, 2008.
Zerschneidung jeder beliebigen Anzahl von gleichen geradlinigen Figuren in dieselben Stücke. Paul Gerwien, Journal de Crelle 10, 1833.