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Dix-sept groupes pour paver le plan


Jean-Jacques Dupas

Le théorème des pavages affirme que le poids d'un motif est nécessairement égal à 2. Cette petite valeur permet d'envisager tous les cas possibles de symétrie du plan pour votre papier peint : il n'existe que dix-sept groupes de pavage du plan.


 Attention, ce texte nécessite d’avoir lu l’article dans lequel signature et poids des pavages sont introduits. 

 

Dans un groupe de pavage du plan (ou groupe de papier peint), le même motif se répète à l’infini dans les deux dimensions afin de paver tout le plan. Derrière cette variété apparente se cache en fait un groupe qui va transformer un motif de base en tous les autres. Evgraf Fedorov a prouvé qu’il y a exactement dix-sept groupes. Cela se démontre facilement à condition de connaître le théorème du pavage du plan.

 

Le papier peint du symbole o .

 

Faisons les comptes… 

Ainsi, un groupe de papier peint doit avoir une signature de poids total 2. Le cas le plus simple est le symbole o (qui correspond à deux translations) : son poids vaut déjà 2.

En assemblant des symboles de rotations, on trouve quatre possibilités (voir la partie de gauche du tableau suivant). La combinatoire reste élémentaire.

 

 

Passons aux miroirs. Une signature de réflexion commence par Lire la suite