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Le découpage d'un triangle obtusangle


Hervé Lehning

Le problème du découpage d'un triangle obtusangle a été proposé par Martin Gardner dans la revue Scientific American.


 

De 1957 à 1980, Martin Gardner (1914-2010) a tenu la rubrique de jeux mathématiques du Scientific American (dont la version française est Pour La Science). Il a proposé un problème de découpage de triangle, qui correspond bien à son goût des énigmes d'allures compliquées mais qu'une idée astucieuse rend lumineuses : un triangle obtusangle (ayant un angle obtus) peut-il être découpé en un nombre fini de triangles acutangles (dont tous les angles sont aigus) ? La réponse est oui, en sept triangles plus précisément.

Si le triangle ABC est obtus en A, on considère le cercle inscrit dans ABC et O son centre, à l'intersection des bissectrices des trois angles du triangle. On considère les tangentes au cercle (DE) et (FG), perpendiculaires à (BO) et (CO), si bien que les triangles BDE et CFG sont isocèles. Notons 4a, 4b et 4c les angles en A, B et C en degrés (de sorte que a + b + c = 45°). On détermine les angles des sept triangles CGF, BDE, OAD, ODE, OEF, OFG et OGA en utilisant deux résultats : la somme des angles d'un triangle est égale à 180° ; les tangentes (AD) et (AG) au cercle font le même angle avec (AO), et de même pour les autres tangentes. On obtient les valeurs suivantes (en degrés) :

 

Ces angles sont tous aigus ! De plus, on ne peut faire mieux que sept car l'angle obtus en A doit être coupé par le côté d'un des triangles, qui ne peut se terminer sur le côté [BC], sinon on retrouverait un angle obtus que l'on devrait à nouveau couper… et ainsi de suite. On s'arrête donc en un point à l'intérieur du triangle. En ce point, cinq côtés au moins se rejoignent pour que les angles soient aigus. Cela donne le pentagone à l'intérieur du triangle, donc sept triangles.