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Une balade au musée des machines


Thierry Horsin

Les mathématiques ne sont pas visuelles ? On ne peut pas vraiment les représenter « en vrai », encore moins les matérialiser? Grave erreur ! Le Musée des arts et métiers (60 rue Réaumur, 75003 Paris) vous invite à revisiter ses collections… sous l'angle étonnant des mathématiques.


Le musée du Conservatoire national des arts et métiers (Cnam) conserve un patrimoine d’inventions toutes plus spectaculaires les unes que les autres. Mais avant d’avoir un musée, le CNAM, fondé en 1794 par l’abbé Henri Grégoire, était un lieu d’enseignement et de démonstrations aidées des machines que l’on amenait à la « raison » des élèves. Dès ses premiers instants, mathématiques et mécanismes ont été présents dans cet établissement. Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796) contribua à sa création, Charles Dupin (1784-1873) y créa la première chaire de mécanique appliquée aux arts.

 

Combiner le mouvement

Le mot « mécanique » intègre le vocabulaire mathématique au XVI e siècle puis apparaît alors, par la suite, son dérivé « mécanisme ». Celui-ci retrouve naturellement l’étymologie originelle de « mécanique » désignant une machine puisqu’un mécanisme est communément perçu comme un dispositif permettant de combiner le mouvement (même si le mouvement n’est pas l’objet de ce mécanisme). Une serrure par exemple est un mécanisme qui permet de verrouiller une porte. On retient principalement cette propriété de la serrure, mais ce qui en caractérise la construction est un mécanisme qui transmet le mouvement de la main au pêne. Des collections Mécanique à celles des Transports en passant par les Communications, le visiteur du Musée des arts et métiers flirte en permanence avec les mécanismes.

Un appareil qui transmet de l’information grâce à un courant électrique est, dans l’esprit de la sémantique du XVI e siècle, un mécanisme. Bien sûr, ce n’est en général pas compris ainsi dans le sens commun aujourd’hui. Et pourtant, le mouvement des électrons est bien au cœur du courant électrique. Le mot « courant » fait immanquablement penser à la rivière, au fleuve, à l’onde de La Fontaine. Toutes ces acceptions sont autant de lois ou de cartographies de la notion de mouvement. Le mécanisme de la serrure s’apparentera à la mécanique des solides, relevant à la fois de la dynamique puisqu’en tournant la main, l’effort transmet un mouvement et une fois le pêne en place, c’est l’étude de la statique des forces et la résistance des matériaux qui garantissent que la porte verrouillée résistera à un pied de biche malveillant… jusqu’à la rupture.

Les mécanismes utilisant des fluides sont exemplaires de la complexité de la représentation de ceux-ci et ne relèvent pas uniquement de la seule compréhension de la mécanique des fluides en leur sein. Par exemple, l’observation du vaisseau de premier rang Le Roi de Rome met bien en valeur cette pluralité. C’est l’interaction entre une chose qui s’apparente à un fluide en mouvement (le vent) et des structures que sont les voiles qui fait bouger le navire, mais c’est la coque du navire (et la gouverne) dont l’interaction avec l’eau par sa géométrie (dont sa géométrie des masses) qui le dirige ou qui facilite son mouvement. Quid des mathématiques dans le mouvement ? Le principe fondamental de la dynamique, qui mélange forces, moments et dérivées secondes, conduit par estimations a priori à donner des propriétés du mouvement (dans de rares cas emblématiques, la résolution exacte est possible, ce n’est souvent intéressant que pédagogiquement).


Des maths dans le musée

Revenons à l’observation primitive du mouvement : c’est une variation de la position d’un objet. Lorsque l’on étudie la variation de la position par rapport au temps, on parle de vitesse ; d’abord moyenne, puis l’insuffisance de la notion, du modèle, conduit à parler de vitesse instantanée. Évidemment, la vitesse, dérivée par rapport au temps de la position, existe ou non. La modélisation mathématique la plus célèbre du mouvement d’un pollen à la surface de l’eau est le mouvement brownien, pour lequel la vitesse instantanée n’a pas de sens. Peut-être est-ce un travers du modèle, car les particules de pollen ont bel et bien un mouvement, mais entrecoupé de chocs… Mais ce modèle est suffisamment riche pour aller chercher la notion de chaleur (qui se diffuse), que l’on peut voir comme une grandeur macroscopique caractérisant la notion de chocs de particules microscopiques. Les machines à vapeur du musée sont des beaux exemples de réalisations utilisant la chaleur. Quand le moteur du fardier de Cugnot ou l’un des moteurs Diesel dans la chapelle du musée fonctionnent, ce sont bien des propriétés thermodynamiques, intimement liées donc à ces chocs de particules, que l’on exploite. Dans le premier, la chaleur provoque un changement de phase de l’eau et, par sa pression, la vapeur, que l’on considère alors comme un gaz, fait se mouvoir deux pistons (un mécanisme !). Mais dans le moteur Diesel, la combustion du « gas-oil  », qui s’enflamme par compression du piston et augmentation de sa température, dégage aussi des fumées (pas de la vapeur), repoussant par pression le piston vers le bas (encore un mécanisme…).

Bref, modélisation, mathématiques, mouvement et donc technologie et mécanisme sont intimement liés.
Le Musée des arts et métiers est un véritable catalogue d’illustrations mathématiques originales. On peut y passer des heures, au cours d’un jeu de piste, à se demander où sont cachées les mathématiques dans chaque objet. Le mouvement par les mécanismes y est très présent. On a vu que s’y cache le mouvement brownien. Oui, mais pas seulement. En fouillant, on peut y trouver la géométrie de Darboux (voir par ailleurs en page 42), la stabilisation des systèmes dynamiques (aussi par un mécanisme), le traitement d’image, l’optimisation de forme, le traitement du signal… La règle à calculer, et donc le logarithme, ou encore la pascaline et l’incroyable machine à multiplier de Léon Bollée sont présents. Fait amusant, c’est grâce aux mécanismes d’engrènement (voir en pages suivantes) que ces deux dernières machines nous donnent le résultat d’un calcul. Ces mouvements ne peuvent être imprécis dans leur exécution. Les à-coups de la pascaline ont compliqué son utilisation. Ce savant entraînement par obstacle ne s’improvise pas et, pour qu’il soit optimal et le plus précis possible, les roues dentées ont une forme bien particulière et caractérisée mathématiquement par la géométrie différentielle…