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Premiers exemples d'espaces vectoriels (1)


Jean-Jacques Dupas

Avant même d'entrer dans le vif du sujet, il est bon de se convaincre que nous avons tous rencontré un jour un espace vectoriel à l'école.


L'espace vectoriel nul

Le plus élémentaire de tous les espaces vectoriels est… simplement l'ensemble {}, constitué du seul vecteur nul . C'est bien un espace vectoriel ! En effet, il vérifie toutes les propriétés techniques requises, puisque additionner le vecteur nul à lui-même ou le multiplier par un nombre quelconque produit toujours le même résultat : le vecteur nul. Cet espace vectoriel trivial est bien entendu le plus simple qui soit. Est-il pour autant nullement digne d'intérêt ?

L'espace vectoriel nul peut être vu comme un sous-espace de tout espace vectoriel. C'est en cela qu'il est important. Par exemple, les applications linéaires possèdent certaines propriétés si leurs noyaux, qui sont des espaces vectoriels, sont réduits à l'espace vectoriel nul.

 

Même s'il n'est jamais bon de plaisanter avec les flèches, on s'autorisera à ne pas surmonter les lettres représentant les vecteurs d'une flèche lorsque aucune confusion avec un scalaire n'est possible.


Le corps de base

Un autre exemple trivial d'espace vectoriel sur un corps K est le corps K lui-même. Dans ce sens, l'ensemble ... Lire la suite gratuitement