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Premiers exemples d'espaces vectoriels (2)


Jean-Jacques Dupas

Il n'est de bon espace vectoriel E que sur un corps de base K. Mais qu'est-ce qu'un corps exactement ?


Le corps s'exprime 

Il s'agit d'une structure fondamentale de l'algèbre « calquée » sur les propriétés de l'ensemble des nombres réels : il s'agit d'un ensemble, possédant au moins deux éléments, muni de deux opérations binaires, traditionnellement notées + (addition) et × (multiplication), qui rendent possible le calcul d'opposés et d'inverses. Cela permet de définir la soustraction et la division (par tout élément non nul) en respectant certaines règles usuelles de calcul (commutativité des deux opérations binaires, distributivité de × sur + notamment).

Ainsi, l'ensemble des entiers naturels n'est pas un corps car on ne peut pas y définir une soustraction (0 – 1 par exemple n'appartient pas à ℕ). L'ensemble des entiers relatifs n'est pas non plus un corps, car on en peut pas y définir une division (en effet, 1 / 2 n'appartient pas à ℤ). Mais l'ensemble ℝ des nombres rationnels, l'ensemble  des réels ou encore ℂ, l'ensemble des complexes sont des corps. Mais il y en a bien d'autres encore…

 

L'espace des polynômes

La notion de vecteur émergeant de la géométrie, on comprend bien que des espaces comme  ℝn sont des espaces vectoriels assez naturels. L'ensemble des polynômes de degré inférieur à un entier d donné fournit un exemple ... Lire la suite gratuitement