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« La » dimension :
une idée pas si évidente !


Hervé Lehning

La notion de dimension se devine chez Euclide puis se précise avec Descartes avant de se diversifier selon le sujet d'étude : géométrie analytique, espaces vectoriels ou topologie. Il y a pléthore de « dimensions » ! L'accent est mis ici sur celle des espaces vectoriels, due à Georg Hamel.


Dans le livre I des Éléments, Euclide définit la ligne comme une longueur sans largeur et la surface comme ce qui possède longueur et largeur seulement. Au livre XI, il y ajoute les solides comme ce qui possède longueur, largeur et profondeur. De nos jours, on décrypte cela comme ce qui a trait aux dimensions 1, 2 et 3. Avec la géométrie analytique de Descartes, dont on peut trouver les prémices chez Apollonius dans son ouvrage sur les Coniques, chaque point se définit à partir d'un nombre sur une ligne, de deux sur une surface et de trois dans un solide ; la notion de dimension se précise : il s'agit du nombre de paramètres nécessaires pour définir un point. Cette idée se diversifie ensuite. Mais restons sur la dimension des espaces vectoriels. L'idée sous-jacente est qu'il s'agit du nombre de paramètres nécessaires pour décrire un vecteur.

 

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Envisageons un espace de dimension 2, comme celui des couples de nombres réels V = (x, y). On peut les décomposer comme combinaison linéaire des deux vecteurs I = (1, ... Lire la suite