Abonnez-vous

Applications linéaires :
le « noyau dur » de l'algèbre… linéaire


Jean-Jacques Dupas

Les applications linéaires sont un concept incontournable de la théorie des espaces vectoriels. Leurs utilisations sont multiples, y compris pour concevoir et résoudre des jeux.


L'image et de noyau sont deux espaces vectoriels privilégiés, ce sont même des notions fondamentales de l'algèbre linéaire. Pour une application linéaire f qui, à chaque vecteur  de l'espace vectoriel E1, associe le vecteur  de l'espace vectoriel E2, on définit le noyau comme le sous-espace vectoriel de E1 constitué des éléments  tels que . L'image est, comme son nom l'indique, le sous-espace vectoriel de E2 constitué des vecteurs  atteints par l'application linéaire f , c'est-à-dire qu'il existe un vecteur  de E1 tel que .

Ces définitions, pour naturelles qu'elles soient, sont terriblement abstraites !

D'un autre côté, ces notions sont omniprésentes en algèbre linéaire. Si f est un endomorphisme, son image, notée Im(f ), et son noyau, noté Ker(f), sont des sous-espaces vectoriels (respectivement de E2 et de E1). Par exemple, il faut et il suffit que Ker(f ) soit réduit au vecteur nul pour que f soit une bijection ... Lire la suite


références

- Turning Lights Out with Linear Algebra. Marlow Anderson et Todd Feil, Mathematics Magazine 71, 1998.
- Les matrices. Bibliothèque Tangente 44, 2012.
- Jeux d'ampoules, ou comment éviter la crise de nerfs à un électricien dépressif à coup d'algèbre linéaire sur F2. Grégory Berhuy, Quadrature 79, 2011.