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Alignement, coplanarité, concourance... même combat !


Hervé Lehning

Les notions de points et de droites du plan sont duales : aux théorèmes concernant des alignements de points correspondent des théorèmes concernant des concourances de droites. Cette dualité peut être définie géométriquement. On la retrouve même dans l'espace avec la coplanarité.


En géométrie, la dualité permet de transformer un théorème concernant des alignements de points en un théorème concernant des concourances de droites. On peut se contenter d'un simple principe de dualité, permettant de prédire un théorème à partir d'un autre, avant de le démontrer indépendamment. Ainsi, à partir du théorème de Ménélaüs, on peut prédire le théorème de Ceva.

Le théorème de Ménélaüs énonce que si ABC est un triangle et D une droite coupant ses trois côtés en P, Q et R, alors le produit  est égal à 1.

 

Réciproquement, une telle relation entre les mesures algébriques des segments implique que les trois points P, Q et R sont alignés.

 

Le théorème de Ceva affirme quant à lui que si ABC est un triangle et P, Q, R trois points sur les côtés [BC], [CA] et [AB], alors les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes ou parallèles si, et seulement si, 

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références

- Dossier « Les systèmes de coordonnées ».Tangente 157, 2013.
- Dossier « La géométrie projective ». Tangente 162, 2014.