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Les patrons de polyèdres, essentiellement utilisés à l'école primaire, permettent facilement de passer d'une représentation plane à deux dimensions à un objet en trois dimensions. Ils soulèvent pourtant des questions redoutables ! Illustration avec quelques problèmes combinatoires…


Ils nous sont familiers. Très pratiques si l’on n’oublie pas de leur mettre des languettes, ils sont quasi indispensables pour construire des polyèdres. Ils sont champions pour minimiser le nombre de collages. Ce sont les patrons, récréations de votre enfance et objets d’intenses recherches pour le mathématicien !
Un patron est la surface d’un polyèdre qui a été coupée suivant un certain nombre d’arêtes, puis dépliée pour occuper une partie du plan sans qu’aucune partie n’en recouvre une autre. Le « dépliage » se fait en utilisant les arêtes comme charnières. Inversement, découper une portion du plan, plier suivant des arêtes puis assembler les bords libres peut conduire à un polyèdre.
Attention, un dépliage ne conduit pas toujours à un patron : dans certains cas, des faces peuvent se superposer, une fois aplaties (même si cela n’arrive jamais à l’école primaire). D’un autre côté, le pliage d’un patron peut conduire à plus d’un polyèdre !
 

Du bon usage du patron

Le tétraèdre suivant Dürer.

 

L’usage du patron est tellement répandu que l’on pourrait croire qu’ils ont toujours été utilisés. Il n’en est rien : il semble que la première ... Lire la suite


références

Les graphes. Bibliothèque Tangente 54, 2015.
La magie des invariants mathématiques. Bibliothèque Tangente 47, 2013.