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Le Gömböc, cet obscur objet du désir géométrique


François Lavallou

Un okiagari-koboshi, ou culbuto japonais, est conçu pour toujours revenir en position verticale. Cette poupée traditionnelle porte-bonheur est symbole de persévérance, qualité dont n'ont pas manqué deux Hongrois pour prouver l'existence d'un corps homogène possédant la même propriété.


La plus ancienne étude concernant l’équilibre statique des corps convexes est certainement le traité Des corps flottants d’Archimède. Ses travaux sur le retour à l’équilibre de la coque d’un navire en fonction de sa forme furent encore utilisés en architecture navale au XVIIIe siècle. Ce sujet se concrétise dans un jeu universel, le culbuto. Ce jouet doit son unique point d’équilibre stable à une masse de forte densité implantée à sa base, et n’a souvent qu’un seul point d’équilibre instable, en son sommet. (ci contre : Un culbuto Maréchal des années 1960.)

Mais si l’on cherche de tels objets convexes et homogènes, que l’on qualifiera ici de réguliers, le problème est loin d’être trivial. On prouve facilement leur inexistence à deux dimensions, mais en trois dimensions l’existence d’un tel solide avec seulement deux points d’équilibre, un stable et un instable, n’était que conjecturée suite à l’intuition du mathématicien russe Vladimir Arnold en 1995.

 

Les convexes et les homogènes

On s’intéresse à des corps reposant sur un plan horizontal dans un champ ... Lire la suite


références

- A unistable polyhedron with 14 faces. Alexander Reshetov, International Journal of Computational Geometry and Applications, 2014.
- La magie des invariants mathématiques. Bibliothèque Tangente 47, 2013.