Bien entendu, les infiniment petits ne sont pas des réels. Avec ces derniers, ils forment l’ensemble des nombres hyperréels dans le cadre duquel se développe cette nouvelle présentation de l’analyse, initiée par le Canadien Abraham Robinson (voir Tangente 149).
Voyons sur un exemple élémentaire comment calculer une dérivée en analyse non standard (c’est fondamentalement, mais dans un langage moderne, celle qu’a utilisée Fermat pour rechercher un maximum). On se propose de calculer la dérivée de la fonction définie par f ( x ) = x 2. Soient x un réel arbitraire et ε un infiniment petit. On considère f ( x + ε ), soit x 2 + 2ε x +ε 2, un nombre infiniment proche de x 2 : les deux nombres sont « presque égaux » (Fermat écrivait qu’il y a une « adégalité » entre eux). Leur différence est infiniment petite. On relativise ensuite cette différence en la divisant par ε ; le quotient de ces deux infiniment petits est égal à 2 x + ε et est donc infiniment proche de 2 x. Pour obtenir une égalité, on retient l’unique réel infiniment proche du quotient en question ; c’est 2 x. Techniquement, on dit qu’il s’agit de la partie standard du quotient.
Ainsi, sous réserve d’existence, la dérivée d’une fonction f en x est la partie standard de
où ε désigne un infiniment petit.