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Théorème de Pythagore : une belle démonstration


Hervé Lehning

Léonard de Vinci n'était pas à proprement parler un mathématicien, mais le sujet l'intéressait, comme c'était le cas de bien des hommes cultivés de la Renaissance. On lui doit une belle démonstration du théorème de Pythagore.


Sur le schéma suivant, ABC est le triangle rectangle original, ACDE le carré construit sur son hypoténuse, ABFG et BCIH les carrés construits sur les côtés de l’angle droit.

L’idée originale de Léonard de Vinci est d’introduire deux triangles rectangles égaux à ABC supplémentaires, DEJ et FHB. Il s’en sert en traçant les droites (BJ) et (IG).

Les deux quadrilatères ABJE (en bleu) et DJBC (en vert) sont égaux car ils se superposent au moyen d’une rotation de 180°. La somme de leurs aires est égale à celle du carré construit sur l’hypoténuse plus deux fois celle du triangle rectangle.

On retrouve les mêmes quadrilatères en AGIC et FGIH sur le côté droit. Dans ce cas, ils se superposent par symétrie d’axe (IBG). La somme de leurs aires est égale à la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l’angle droit plus deux fois celles du triangle rectangle. On en déduit que l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l’angle droit, c’est-à-dire le théorème de Pythagore.