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Toute courbe régulière est enveloppée par l'ensemble de ses tangentes. Dans le cas des coniques, la construction géométrique de ces droites osculatrices est particulièrement simple, ce qui permet leur réalisation par plicature.


Si l’on prend soin d’effacer une courbe plane après avoir tracé plusieurs de ses tangentes, l’œil devine malgré tout la forme de la courbe originelle, comme enveloppe de l’ensemble de ces droites. Notre cerveau a en fait résolu, approximativement, un problème de géométrie différentielle qui consiste à déterminer, dans le cas général, la courbe, dite enveloppe, tangente à une famille de courbes à un paramètre λ d’équation  f (x, yλ) = 0. Analytiquement, il s’agit de résoudre le système :


dans lequel la seconde équation caractérise le point de tangence. Dans le cas d’une famille de droites, le point courant de l’enveloppe apparaît alors comme l’intersection de deux droites. Pour les coniques, abondamment étudiées depuis Apollonius, la construction d’une tangente est simple, ce qui en permet une réalisation par pliage.

Coniques encerclées

Les coniques, courbes planes définies analytiquement par une équation du second degré, sont géométriquement les coupes d’une ... Lire la suite


références

 Les mathématiques de l'origami. Jean-Paul Delahaye, Pour La Science 448, février 2015.
 Dossiers « Mathématiques autour du monde : le Japon » et « Courbes planes ». Tangente 125, 2008.
 Dossiers « La mathématique du pliage » et « La saga des courbes ». Tangente 146, 2012.