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Opérations sur le billard


Philippe Boulanger & François Lavallou

Un des arts et plaisirs des mathématiques est de produire des représentations de problèmes sous des formes diverses. Certains problèmes de dynamiques peuvent ainsi être avantageusement remplacés par l'étude de trajectoires dans un billard, et révéler ainsi des structures, donc des beautés logiques, cachées.


Au début du XIXe siècle, Jean-Victor Poncelet étudie les polygones inscrits dans une conique, et circonscrits à une autre. En parcourant le périmètre de tels polygones, on effectue une trajectoire fermée dans une courbe fermée, ce qui est un cas particulier des systèmes dynamiques étudiés par les plus grands mathématiciens, d’Henri Poincaré (1854–1912) à Artur Ávila (né en 1979) en passant par Jean-Christophe Yoccoz (1957–2016). Imaginons qu’une boule de billard se déplace sans frottement et obéisse à la loi de réflexion de Descartes lors d’un rebond sur la bande d’un contour fermé. On parle de réflexion spéculaire (semblable à celle de la lumière sur miroir). La question se pose de savoir s’il existe des trajectoires fermées (dont l’origine et l’arrivée coïncident) pour une forme donnée du billard. Mais ce modèle de billard mathématique, donc parfait, a aussi des applications arithmétiques plus ludiques, comme la résolution de problèmes aqueux, pas si sots (voir FOCUS).

La configuration étudiée par Poncelet. 

 

Des billards de trajectoires

Autre application intéressante, et inattendue, des trajectoires sur un billard : l’arithmétique. On considère un ... Lire la suite


références

 Sixth book of Mathematical diversions. Martin Gardner, University of Chicago Press, 1984.
 Periodic Orbits of Billiards on an Equilateral Triangle. Andrew Baxter et Ron Umble, 2007, disponible en ligne.
 Obtuse Triangular Billiards 1: Near the (2, 3, 6) Triangle. Richard Schwartz, Journal of Experimental Mathematics 15, 2006.
 Les mathématiques du billard. Marcel Berger, Pour la Science 163, mai 1991.