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Les théorèmes de Ménelaüs et de Ceva


deux résultats étonnamment similaires

Hervé Lehning

Les théorèmes de Ménélaüs et de Ceva, classiques de la géométrie du plan, présentent une similarité de forme. Cette ressemblance se précise lorsque l'on introduit la notion de birapport.


La géométrie du triangle est inépuisable. Parmi les innombrables richesses que l’on peut y dénicher, deux résultats à l’aspect similaire sortent du lot : les théorèmes de Ceva et de Ménélaüs. Commençons déjà par nous munir d’un triangle ABC. Plaçons un point P sur (BC), un point Q sur (CA) et un point R sur (AB). Enfin, il sera commode d’utiliser la notion de mesure algébrique des longueurs : tout segment UV pourra être affecté d’un signe. La mesure algébrique   du segment [UV] sera égale à sa longueur si l’on va de U vers V, et à l’opposé de sa longueur si l’on va de V vers U. C’est tout ce dont on a besoin pour énoncer les théorèmes de Ménélaüs et de Ceva !

La configuration de base des théorèmes de Ménélaüs et de Ceva.

 

Théorème de Ménélaüs :
les points P, Q et R sont alignés si, et seulement si,

 

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références

 La magie des invariants mathématiques. Bibliothèque Tangente 47, 2013.
 Le triangle. Bibliothèque Tangente 24, 2005.
 Les secrets des dimensions. Bibliothèque Tangente 66, 2019.