Quand les polyèdres vont deux par deux


Jean-Jacques Dupas

En échangeant les faces et les sommets d'un polyèdre, on en obtient un nouveau, que l'on peut obtenir par des constructions géométriques élémentaires. Ce phénomène prouve, une nouvelle fois, le lien étroit entre l'arithmétique et la géométrie.


La formule d’Euler affirme que, pour un polyèdre, sous certaines conditions, si S désigne le nombre de sommets, F le nombre de faces et A le nombre d’arêtes, on a la relation

S + F – A = 2.

Elle est extraordinaire à plus d’un titre (voir le dossier consacré à cette formule dans Tangente 174, 2017). Extraordinaire de simplicité, elle lance un pont entre la géométrie (les polyèdres) et l’arithmétique (S, F et A sont des nombres entiers). Elle introduit en outre la notion de dualité…

On lit souvent que le tétraèdre est « son propre dual ». En fait, le dual du tétraèdre est un autre tétraèdre. Dans l’opération de dualité, on fait correspondre à un sommet une face. Plus précisément, à un sommet où convergent n faces et n arêtes, on peut faire correspondre une face possédant n côtés, et réciproquement (à une face à m côtés on peut faire correspondre un sommet où convergent m faces et arêtes).

 

Les solides de ... Lire la suite


références

- Regular Polytopes. H.S.M. Coxeter, Dover Publications, 1973.
- Dual Models. Magnus Wenninger, Cambridge University Press, 1983.