Le tenseur : un outil indispensable


Daniel Justens

La description de l'univers dans son ensemble utilise une notion mathématique assez abstraite, celle de tenseur. L'équation d'Einstein, qui lie la géométrie et la répartition de masse dans l'univers, l'exploite : les tenseurs permettent d'exprimer cette relation de manière très synthétique.


Le modèle cosmologique standard repose sur une équation publiée par Einstein en 1915, équation que le génial physicien généralisera deux ans plus tard (voir FOCUS) pour des raisons équivoques. Elle décrit de quelle manière la matière et l’énergie présentes dans l’univers modifient, tout en la structurant, la géométrie de l’espace-temps, introduisant un paradigme nouveau : la gravité n’est plus une force s’exerçant mutuellement entre deux ou plusieurs corps, elle devient une propriété géométrique de l’espace, que la présence de matière et d’énergie déforme. Ainsi, les courbures de l’espace au voisinage de la matière sont vues comme la résultante du champ gravitationnel induit par cette présence. L’équation du champ gravitationnel d’Einstein est une équation aux dérivées partielles introduisant des objets mathématiques fort curieux et intéressants : les tenseurs.

 

Un peu d’algèbre (linéaire)

 

Un tenseur est un objet abstrait que l’on retrouve en algèbre linéaire et en géométrie différentielle. On part d’un espace vectoriel V sur un corps commutatif K. On entend par corps un ensemble de nombres munis de deux opérations fondamentales (addition et multiplication), et jouissant de propriétés « agréables » (existence d’un élément neutre noté 0 pour l’addition, d’un élément neutre noté 1 pour la ... Lire la suite