Deux théorèmes pour le prix d'un


Élisabeth Busser

L'idée d'associer, de manière réglementée, deux objets mathématiques, permet d'élargir certains résultats sans tout réinventer : c'est tout l'intérêt de la notion de dualité. Ou comment faire, mathématiquement, d'une pierre deux coups.


Le mot « dual »s’applique en mathématiques de multiples façons : on parle de dual d’un espace vectoriel (voir article « L'échangisme en géométrie » ), d’un polyèdre, d’un graphe, et même de dual d’un théorème. Cette notion de « théorèmes duaux » est fondamentale. Le domaine de la géométrie projective est tout indiqué pour illustrer l’importance de la dualité.

Si les objets auxquels on applique le mot « dual » sont différents, un même phénomène est en fait à l’œuvre : à partir d’un ensemble E d’objets, si l’on peut associer, par une bijection, à tout élément X de E un élément Y d’un autre ensemble E*, on dit que E* est le dual de E. Ainsi, le dual du dual de E est E lui-même. La signification précise du mot peut toutefois prendre, selon les cas, diverses formes. Un premier exemple, élémentaire, est celui du complémentaire d’un ensemble : à tout élément X de l’ensemble    des parties d’un ensemble donné E, on associe son complémentaire X’ dans E. L’ensemble    est son propre dual dans cette opération.

 

 

 

 

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