Certains mathématiciens, lassés de manipuler des objets selon des protocoles établis, en viennent à jouer avec les règles du jeu. Ce qui semble n'être qu'un pur plaisir intellectuel trouve souvent des applications inattendues. Il en est ainsi pour les nombres décadiques.


Pour représenter des nombres entiers qu’il appelle p-adiques, Kurt Hensel introduit en 1897, pour une base p, des séries formelles  

Bien que non convergentes, et donc n’ayant pas de sens en analy­se classique, on peut effectuer entre elles toutes sortes d’opérations. Regardons ce qu’il en est dans le cas p = 10, c’est-à-dire pour les nombres décadiques.

 

Chimère décadique

Il a fallu attendre plus de mille ans après les pythagoriciens, grands maîtres du nombre, et l’« invention » du zéro, pour l’établissement définitif d’une numération positionnelle en Inde. Avec cette notation, 2019 est l’écriture simplifiée du nombre
2 × 103 + 0 × 102 + 1 × 101 + 9 × 100  en base 10. Le rang de chaque chiffr
e indique la puissance de la base qui lui est associée (10 pour notre système décimal), d’où l’importance du zéro pour occuper la place des puissances manquantes. Les Babyloniens ordonnaient bien les puissances (de 60) par ordre croissant mais, sans signe distinctif pour « le rien », une unité dans leur base 60 pouvait tout aussi ... Lire la suite


références

Dossier « La notation décimale ». Tangente 158, 2014.
Les nombres. Bibliothèque Tangente 33, 2019.