Plongée dans un univers numérique étrange


Bertrand Hauchecorne

Au début du xxe siècle, le mathématicien allemand Kurt Hensel « invente » de nouveaux nombres, qui s'écrivent avec une infinité de chiffres, comme dans le système décimal, mais avec une notion de proximité bien différente. Cette curieuse théorie s'est avérée très féconde en arithmétique !


Notre façon de noter un entier M à l’aide des dix chiffres correspond à décomposer M en fonction de puissances de 10. Par exemple, on écrit 216 = 6 + 1 × 10 + 2 × 102. Ceci paraît couler de source car 216 nous est connu par son écriture : la numération de position, que nous devons aux mathématiciens indiens et arabes, utilise cette décomposition pour noter les nombres. En réalité, ces chiffres 6, 1 et 2 se retrouvent par un algorithme très simple : 6 est le reste de la division par 10 de 216 (plus précisément, 216 = 6 + 21 × 10). De même, 1 est le reste de la division euclidienne de 21 par 10 (puisque 21 = 1 + 2 × 10). Il reste enfin 2, qui est strictement inférieur à 10 ; le processus s’arrête.

 

De l’art de noter les nombres

L’algorithme peut se faire en remplaçant 10 par n’importe quel autre entier p supérieur ou égal à 2. Prenons par exemple p = 5 et ... Lire la suite


références

Les nombres complexes. Bibliothèque Tangente 63, 2018.
Suites et séries. Bibliothèque Tangente 41, 2011.
Vecteurs et espaces vectoriels. Bibliothèque Tangente 65, 2018.