En appliquant le même algorithme aux chiffres d'un nombre, puis en recommençant avec les chiffres du résultat, on aborde la notion de persistance...et les questions qui en découlent.


Les défis de la persistance additive

 

Si vous avez encore un souvenir de la preuve par 9 dans vos jeunes années, vous avez sans doute déjà calculé une persistance additive sans le savoir. Le jeu est simple : prenez un nombre entier n, additionnez ses chiffres, puis recommencez jusqu’à obtenir un nombre à un seul chiffre. Le nombre d’étapes pour y arriver est la persistance additive de n. Par exemple, avec 199, on obtient l’enchaînement suivant : . La persistance additive de 199 est 3.

Si vous écrivez cent quatre-vingt-dix-neuf fois le chiffre 1, vous obtiendrez un nombre dont la persistance additive vaut 4. En répétant cette astuce, vous obtiendrez un nombre dont la persistance additive est arbitrairement grande. Une question de minimisation surgit alors : quel est le plus petit nombre de persistance additive donnée ? Pour des persistances de 1, 2 et 3, les valeurs sont 10, 19 et 199. En remarquant que 199 = 1 + 22 × 9, on établit que la persistance additive de 19 999 999 999 999 999 999 999 est égale à 4, et c’est le plus petit nombre vérifiant cela. On vous laisse ... Lire la suite gratuitement