Autoréférence et point fixe


Hervé Lehning

L'autoréférence est paradoxale, liée à la notion mathématique de point fixe et à la méthode des approximations successives, ainsi qu'aux définitions récursives. Autant de relations qui font de cette notion fondamentale un sujet de choix pour les amateurs de mathématiques.

Une phrase autoréférente est une phrase qui se réfère à elle-même. Il est facile d’en donner des exemples, comme « Cette phrase contient cinq mots. », qui, de plus, énonce une propriété (P) vraie. La phrase serait tout aussi autoréférente si (P) était fausse. La propriété (P) peut également être paradoxale (« ni vraie ni fausse », en un sens), comme l’exemple classique : « Cette phrase est un mensonge. » Si cette phrase est bien un mensonge, elle dit la vérité, donc elle n’est pas un mensonge. Si elle dit la vérité, c’est un mensonge. C’est paradoxal. 

On peut rapprocher l’autoréférence aux définitions récursives en mathématiques, comme celle de la factorielle fact vérifiant la propriété autoréférente fact (n) = n × fact (n – 1). Cette égalité définit la factorielle, à condition de lui ajouter fact (0) = 1. La démonstration précise de ce résultat se fait par récurrence. Cet exemple montre qu’une définition autoréférente peut être valide.

 

Des approximations successives

La méthode des approximations successives consiste à résoudre une équation pouvant s’écrire sous la forme f (x) = x en utilisant une suite (un)n≥0
définie par son premier terme u0 et par la relation de récurrence un+1 = f (un). Prenons un exemple et considérons l’équation x2 – x – 2 = 0, que l’on peut mettre sous la forme x2 – 2 = x. On pose f (x) = x2 – 2. En partant de u0 = 0, on obtient u1 = –2, u2 = 2, u3 = 2… Le nombre 2 est donc un point fixe de f et donc une ... Lire la suite


références

• Ma Thémagie. Douglas Hofstadter, InterEditions, 1988.
• Quelle est la meilleure preuve ? Hervé Lehning, Quadrature 11, 1992.