Discontinuités en tous genres


Élisabeth Busser

On les a qualifiées de « pathologiques », Henri Poincaré parlait de « monstres », les accusant d'être des « fonctions bizarres qui s'efforcent de ressembler aussi peu que possible aux honnêtes fonctions qui servent à quelque chose ». Certaines fonctions discontinues ont pourtant laissé leur trace dans l'histoire.

Premières curiosités

Les mathématiciens, avant le XIXe siècle, n’étaient guère attirés par ces fonctions d’exception. Leonhard Euler, cependant, toujours très imaginatif, s’était pris à étudier celle définie par

  \( f(x) = x^{x^x}\)  ,

avec plusieurs exposants superposés, qu’il nommait « exponentielle répliquée ». On la retrouve dans son manuscrit De formulis exponentialibus replicatis, avec l’expression

\( f(x) = r^{r^{r^{r^{\alpha}}}}\)  .

Après des débuts très numériques, où il pose r α = β, puis r β = γ, r γ= δ… et calcule ses valeurs particulières, il poursuit avec des cas de plus en plus compliqués, résolus en passant au logarithme. Il qualifie les résultats obtenus de « phénomènes merveilleux » et échange à leur sujet avec le marquis de Condorcet.

 

L’exponentielle répliquée d’Euler.

 

 

La fonction « partie entière »

L’une des fonctions les plus simples à présenter de nombreuses discontinuités est la fonction partie entière (ou floor function), qui associe à tout réel x le plus grand entier E(x) inférieur ou égal à x. Ainsi, pour tout x appartenant à l’intervalle [n, n + 1[, E (x) ... Lire la suite gratuitement