Les propriétés géométriques des cycloïdes et des trochoïdes ont mis des décennies avant d'être mises au jour. Les savants qui les ont étudiées se sont d'abord posées des questions physiques ou pratiques, avant de se lancer dans l'examen de ces courbes remarquables.

Dans l’Antiquité, Archimède définissait « sa » spirale par deux mouvements (voir « Les spirales ») et il l’étudiait de manière géométrique. Dans les années 1630, la cycloïde et la trochoïde étaient vues comme des trajectoires et étudiées de manière cinématique. La cycloïde (voir « Des roues et des routes adaptées ») donna lieu à l’invention de méthodes fructueuses puis servit de banc d’essai aux nouvelles méthodes infinitésimales. Les mathématiciens ont associé beaucoup de propriétés géométriques aux deux courbes, mais montré aussi qu’elles répondent à des phénomènes de la nature, ce qui les rend étonnantes.

 

Mersenne et le paradoxe de la roue

 

Dans les années 1620, Marin Mersenne s’intéresse au paradoxe de la roue du pseudo-Aristote, à savoir que deux cercles parcourent des espaces proportionnels à leurs diamètres, tandis qu’ils parcourent un même espace s’ils sont solidaires et de même centre.

 

 

Il envisage le paradoxe en se demandant quelle est la courbe parcourue par un point de la circonférence d’un cercle qui roule. Il écrit dans ses Questions inouïes de 1634 que c’est « la moitié d’une ellipse », mais il questionne Gilles de Roberval sur cette réponse. Comment savoir si la courbe est ou non une ellipse ? ... Lire la suite


références

[1] Observations sur la composition des mouvements et sur le moyen de trouver les touchantes. Gilles Personne de Roberval, Divers ouvrages de M. de Roberval, Académie royale des sciences, 1693.

[2] Horologium oscillatorium. Christian Huygens, Œuvres complètes, tome XVIII, Martinus Nijhoff, 1934.

[3] Naissance du calcul différentiel. Gottfried Wilhelm Leibniz, textes réunis, commentés et traduits par Marc Parmentier, Vrin, 1989.

[4] Théorie des vagues. Franz von Gerstner, traduit et annoté par Barré de Saint-Venant, Annales des ponts et chaussées, tome XIII, 1887.

[5] Oeuvres de Descartes, tome II. Charles Adam et Paul Tannery, Vrin, 1996.