Apprivoiser les coordonnées polaires


Élisabeth Busser

Les coordonnées polaires sont particulièrement adaptées à la représentation et l'étude des cercles, rosaces et autres spirales.

Les coordonnées polaires sont une autre façon de représenter les points d’un plan euclidien muni d’un repère orthonormé (voir encadré dans article « Des équations pour les courbes »). On passe aisément du couple ( ρ, θ ) de coordonnées polaires d’un point M à celui de ses coordonnées cartésiennes via les relations x = ρ cos θ et y = ρ sin θ.

Ce qui est intéressant, c’est qu’une courbe du plan peut alors être définie par une équation polaire, relation entre ρ et θ. Un cercle de centre O et de rayon R ou une droite passant par O faisant un angle α avec  ont une équation simple (respectivement ρ = R ou θ = α ). Mais dans le cas général une droite ou un cercle sont représentés par des équations plus sophistiquées.

Ainsi, ρ = h / cos (θθ0 ) est l’équation polaire de la droite faisant avec  l’angle θ0 + π/2 et située à une distance h de l’origine (voir figure). On peut en déduire l’équation polaire d’un cercle passant par l’origine en remarquant que le transformé par inversion* de pôle O d’une droite ne passant pas par O est un cercle passant par O.

Ainsi, un ... Lire la suite