Une courbe elliptique est une courbe algébrique, définie par une équation cartésienne polynomiale à coefficients réels, de genre 1.

Des cubiques lisses

Notion topologique, le genre d’une courbe polynomiale de degré n est égal à  \( \dfrac{(n-1)(n-2)}{2}, \)  si elle ne possède pas de points singuliers (on dit alors qu’elle est lisse). Pour chaque point double, le genre perd une unité. Une cubique, courbe algébrique de degré 3, sera alors elliptique si elle est lisse.

Les coniques, de genre nul, sont dites rationnelles car on peut les paramétrer par des rapports de polynômes, comme pour le cercle unité :  \( x = \dfrac{2t}{1+t^2},\)    \( y = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}.\)

Toute courbe rationnelle est unipartite (d’un seul tracé, en prenant en compte les points à l’infini), mais la réciproque n’est pas vraie. La courbe elliptique de genre 1 d’équation
y 2 = x 3 − x + 1 (représentée ci-dessous) est unipartite mais n’est pas rationnelle. Elle est par contre paramétrable par des fonctions elliptiques (historiquement nées de la rectification de l’ellipse).

 

Le cryptage elliptique

Au début du XVIIIe siècle, Isaac Newton a montré, avec d’autres termes, que toute cubique est équivalente (à une transformation homographique près) à une parabole divergente, d’équation y2 = 2P(x), donc symétrique par rapport à l’axe des abscisses. Le polynôme P du troisième degré est souvent écrit P(x) = x3 + px + q. ... Lire la suite