Construire son premier carré magique | Tangente

Quel amateur de mathématiques n’a jamais succombé aux charmes arithmétiques des carrés magiques ? Nul doute que si ces objets séculaires nous fascinent encore autant aujourd’hui, c’est en partie grâce à leur simplicité, qui permet à tout un chacun, avec ou sans ordinateur, d’explorer l’univers de ces compagnons ancestraux des hommes. C’est aussi en partie à cause des mystères qu’ils recèlent. Combien y en a-t-il ? Comment les construire tous ? Que se passe-t-il si l’on ajoute ou enlève des contraintes à leur définition ? L’auteur a consacré plusieurs ouvrages, devenus classiques, à ces questions [(les Carrés magiques, Vuibert, 2000 ; la Magie du carré, Vuibert, 2003 ; *le Carré naturel*, Nuvis, 2011).]

Tout commence avec une remarque évidente : n² entiers différents peuvent être disposés dans les n² cases d’un carré comportant n lignes et n colonnes. Si l’on peut s’arranger pour que les n sommes sur les lignes et les n sommes sur les colonnes coïncident, on obtient un carré semi-magique. L’entier n est appelé l’ordre du carré magique. La valeur commune S des 2n sommes est la constante magique du carré. Si en outre les deux sommes sur les diagonales sont aussi égales à S, alors on a affaire à un carré magique. Enfin, si les n² entiers sont précisément les entiers de 1 à n², on dit que le carré (semi-)magique est normal, et sa constante magique S vaut nécessairement S*_n = n (n*² + 1)/2. En effet, la somme de tous les entiers de 1 à n² vaut n² (n² + 1)/2, et aussi n × S*_n*.

Magie des permutations ----------------------