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Approche algébrique

Les nombres irrationnels, le zéro, les nombres négatifs ont mis des siècles à être acceptés. Ce fut également le cas des « imaginaires », qui ont donné naissance à la notion de nombres complexes. À l'origine de leur – tardive – introduction, il y avait le souhait de résoudre les équations du deuxième degré qui n'avaient pas de solution réelle. Cela a débouché sur la conception d'un ensemble puissant, possédant la structure de corps algébriquement clos, c'est-à-dire dans lequel toute équation algébrique admet une solution. Mieux, dans la mesure où les complexes peuvent être identifiés à un point du plan, une puissante correspondance entre algèbre, analyse, géométrie et trigonométrie allait naître !

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L'ensembledes nombres complexes s'est imposé (avec difficulté) quand il s'est agi de trouver, au-delà des nombres réels, toutes les solutions d'une équation du second degré. Ce qui n'avait pas été prévu, c'est sa richesse et les liens qu'il allait tisser avec l'ensemble des mathématiques. Premières découvertes.


Le corps ℂ des complexes a été construit pour fournir des solutions à toutes les équations du second degré. La surprise est qu'il contient aussi celles de toutes les équations algébriques à coefficients dans ℂ. En termes savants, il est algébriquement clos.


Les nombres complexes semblent très éloignés des questions de rentabilité du monde moderne. Pourtant, ils sont à l'origine de méthodes utilisées pour accélérer les multiplications de grands nombres entiers. Ils permettent de gagner du temps, beaucoup de temps… et donc de l'argent !


De simples symboles formels pour le calcul algébrique, les nombres complexes deviennent, par leur interprétation géométrique, d'un usage courant à partir du XIXe siècle… dans presque tous les domaines mathématiques ! Ils interviennent ainsi naturellement en théorie des nombres.


Une fois admise l'existence d'un nombre i tel que i²=-1, ne risque-t-on pas de perdre le contact avec la réalité physique ? Au contraire, une correspondance profonde et féconde se met en place : des questions de géométrie pure sont réglées par de simples manipulations algébriques.