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Les pavages du plan

Les pavages réguliers et les frises sont aujourd'hui catalogués de manière rigoureuse, mais leur diversité dépasse de loin l'intuition première. Au XXe siècle, la théorie des groupes a en effet eu raison de leur apparente variété, grâce à l'introduction de notations aussi astucieuses que puissantes.
Le sujet semblait à peine clos qu'on a découvert des pavages non réguliers ! Le mathématicien Roger Penrose et le graveur Maurits Cornelis Escher ont été les précurseurs de ces nouvelles mosaïques étonnantes et magnifiques… dont les artistes musulmans avaient déjà entrevu les richesses !

LES ARTICLES

Un premier tour d'horizon

Hervé Lehning
L'idée de pavage est d'ordre pratique. Les routes comme les maisons ont été pavées avant qu'on y voie des mathématiques ! Depuis, la notion a été étendue et, aujourd'hui, on pave même des espaces non euclidiens ou de dimension quatre…


Pavages et entrelacs de l'art islamique médiéval forcent notre admiration. Et si derrière cette apparente complexité faite de segments, d'entrelacs, de courbes imbriquées et de polygones se cachaient quelques formes géométriques simples ?


Y avez-vous déjà prêté attention ? Sur les frises, pavages et autres motifs périodiques qui se répètent ou obéissent à des symétries, le nombre de possibilités offertes à l'artiste est somme toute assez limité. Un théorème fondamental permet de dénombrer complètement ces motifs.


Le théorème des pavages affirme que le poids d'un motif est nécessairement égal à 2. Cette petite valeur permet d'envisager tous les cas possibles de symétrie du plan pour votre papier peint : il n'existe que dix-sept groupes de pavage du plan.


L'ensemble des décors de l'Alhambra de Grenade, forteresse édifiée au XIVe siècle, reprend la totalité des groupes de symétrie des pavages du plan pouvant se dupliquer au moyen de deux translations non parallèles. Mais ce résultat est récent, partiel et sujet à quelques controverses...


Les sept types de frise

Jean-Jacques Dupas
Un pavage couvre le plan, en s'étendant à l'infini dans les deux dimensions, une frise se propage dans une seule direction. Motif décoratif par excellence, c'est le ruban que vous pouvez coller au-dessus du papier peint. Il ne peut en exister que sept types différents.