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De la 3D à la 2D

Comment rendre fidèlement compte d'un objet de l'espace sur une feuille de papier ? Une solution vient immédiatement à l'esprit, la perspective. Elle a pourtant mis des siècles à émerger. Si on a droit à plusieurs feuilles, on pense à utiliser la notion de projection, dont l'histoire est, elle aussi, mouvementée. C'est elle qui a, par exemple, donné naissance à la fameuse – et redoutée de ceux qui l'ont pratiquée – géométrie descriptive. À son tour, la « descro » a permis l'essor du dessin industriel, du trait de charpente ou encore du dessin technique.
De manière plus élémentaire, on peut représenter certains objets tridimensionnels à l'aide de patrons ! Vous avez dit « élémentaire » ? Pas tant que cela ! Savez-vous qu'ils regorgent encore aujourd’hui de mystères mathématiques ?

LES ARTICLES

Les mathématiques et l'astronomie se sont développées conjointement et se sont enrichies mutuellement. L'astronome devait en effet obligatoirement utiliser les mathématiques, tandis que le mathématicien devait résoudre les problèmes que lui posait l'astronomie…


La Renaissance marque la convergence de la peinture, de la géométrie et de l'architecture. Brunelleschi conçoit le premier dispositif illustrant le principe fondamental de la perspective centrale : l'image d'un faisceau de droites parallèles est un faisceau de droites concourantes.


Le dessin en perspective consiste à représenter une scène en trois dimensions sur un plan de façon correspondant plus ou moins à notre vision oculaire. La méthode la plus simple est la perspective cavalière, mais les perspectives à points de fuite sont plus réalistes.


C'est à Gaspard Monge que l'on doit la géométrie descriptive, fameuse technique graphique qu'il a encadrée et codifiée. Le dessin technique, encore très utilisé de nos jours en conception, en mécanique et en électronique, découle directement de cette branche de la géométrie.


Le b.a.-ba de la « descro »

Jean-Jacques Dupas
La géométrie descriptive permet de résoudre, très élégamment, par des techniques graphiques, de nombreux problèmes de géométrie. Voyons-en les rudiments, et appliquons-les à la résolution d'un problème classique : la détermination de la perpendiculaire commune à deux droites de l'espace.


Merci, patron !

Jean-Jacques Dupas
Les patrons de polyèdres, essentiellement utilisés à l'école primaire, permettent facilement de passer d'une représentation plane à deux dimensions à un objet en trois dimensions. Ils soulèvent pourtant des questions redoutables ! Illustration avec quelques problèmes combinatoires…


En bref : Projections

Élisabeth Busser et Jean-Jacques Dupas

La difficulté inhérente à l'étude des objets de l'espace, comme les polyèdres, est que ce sont des objets à trois dimensions. Cependant, une solution permet de transformer les problèmes tridimensionnels en problèmes bidimensionnels : la projection stéréographique.



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