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Enveloppes de familles de droites

Lorsqu'on considère une famille de droites, il existe souvent une courbe tangente à chacune d'entre elles : c'est l'enveloppe de cette famille. Son équation se calcule à partir du paramétrage des droites. Quel plaisir de l'œil que de voir ces figures géométriques faites de droites habilement placées le long desquelles s'enlace une jolie courbe qui semble effleurer chacune d'entre elles ! Parmi les courbes ainsi construites, que l'on peut reconnaître dans les pliages ou les tableaux de fils tendus, on retrouve certaines figures bien connues comme les coniques. Les rayons lumineux se réfléchissant sur une surface dessinent aussi de jolies courbes, appelées caustiques. Passionné d'optique et proche de Leibniz, le comte de Tschirnhaus a compris l'intérêt du calcul différentiel pour les étudier. Les développées de courbes, enveloppes des normales, offrent, elles aussi, une belle géométrie !

LES ARTICLES

Réunion de famille

Bertrand Hauchecorne
C'est un plaisir de l'oeil de voir certaines figures géométriques présentant de nombreuses droites habilement placées et le long desquelles s'enlace une jolie courbe qui semble effleurer chacune d'entre elles. Quelle théorie mathématique se dissimule derrière ? C'est celle des enveloppes de droites.


La notion d'enveloppe de droites recouvre deux idées. La seconde se prête mieux au calcul, mais toutes deux donnent naissance à de superbes questions géométriques.


Enveloppes sous plis

François Lavallou
Toute courbe régulière est enveloppée par l'ensemble de ses tangentes. Dans le cas des coniques, la construction géométrique de ces droites osculatrices est particulièrement simple, ce qui permet leur réalisation par plicature.


Définir précisément la notion d'enveloppe d'une famille de droites est plus subtil qu'il n'y paraît. On s'en rend compte en cherchant à généraliser cette idée à une famille de courbes quelconques. Le point de vue introduit par René Thom permet de contourner les difficultés.


En bref : Les octogones de Knuth

André Bellaïche

Le mathématicien américain Donald Knuth est l'auteur du système de typographie mathématique TeX, fondé sur l'utilisation de courbes de Bézier.



En bref : Des triangles équilatéraux à partir d'un triangle quelconque

André Bellaïche

Il existe au moins deux façons d'associer un triangle équilatéral à un triangle T quelconque, autrement dit de « sortir » un triangle possédant le maximum de symétries d'un triangle qui n'en possède a priori aucune au départ.



En bref : L'enveloppe des droites de Simson d'un triangle

André Bellaïche

Cette très jolie propriété géométrique était connue des élèves de seconde C dans les années 1970, même si peu savaient la démontrer.



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