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La quête du théorème fondamental de l'algèbre

Élisabeth Busser



Une histoire de l'imaginaire mathématique

Carlos Alvarez et Jean Dhombres
Hermann
2011

 Cet imposant ouvrage, écrit par Jean Dhombres, mathématicien et historien des sciences, et Carlos Alvarez, professeur à l’Université nationale du Mexique à Mexico, est riche et documenté. Il retrace avec minutie la quête du théorème fondamental de l’algèbre, jusqu’à sa démonstration par Laplace en 1795. L’énoncé d’aujourd’hui revêt une forme minimale : un polynôme non réduit à une constante et à coefficients réels possède au moins une racine complexe. Ce premier volume s’arrête juste avant la preuve de Gauss, et avant l’intervention de Galois. 

Après un chapitre 0, définissant le cadre historique et mathématique, s’enchaînent huit chapitres, répartis en trois grandes parties : La préparation du théorème, L’invention suscitée par le théorème fondamental, et une dernière partie de documentation. Ce « récit d’histoire et de mathématiques » fait magistralement le tour de la question, tant sur le plan de l’histoire des peuples que sur celui de l’évolution des idées mathématiques.

On y apprend le rôle de Descartes et de Viète, qui ne faisaient d’ailleurs ni l’un ni l’autre profession de mathématiciens. On suit, dans les traités d’algèbre avant 1700, l’évolution de la forme des racines, de Wallis à Ozanam en passant par Rolle, de Moivre, Cardan, les Bernoulli. On comprend les interrogations et les doutes des mathématiciens, de Leibniz à Euler, sur les polynômes réels, leurs hésitations quant aux imaginaires. On accompagne Euler et d’Alembert dans leurs échanges de lettres, leurs rivalités parfois, on trébuche avec eux sur les tentatives de généralisation. On participe, avec Lagrange à Turin, Euler à Bâle, Berlin et Saint-Pétersbourg, à la construction de l’Europe des mathématiques. Pour arriver à l’énoncé synthétique de Laplace. 

Après lecture de ce livre, on comprend mieux la place et la démarche des très nombreux acteurs de l’histoire, qui ont donné chacun un énoncé à eux du théorème et la façon dont ceux-ci se sont inscrits dans les développements successifs. L’ouvrage a le grand mérite de faire vivre les mathématiques à travers leur histoire et de nous faire, de façon dynamique, participer à leur élaboration.



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