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Déambulations dans le plan complexe

Michel Criton




La « marche aléatoire de l'ivrogne » pose de jolis problèmes arithmétiques. L'analogie avec le plan complexe permet de les appréhender plus naturellement.

Sur le parvis de cette cathédrale, un policier vient demander à un ivrogne qui haranguait les badauds de se lever et de circuler. L’ivrogne obtempère : il se lève, puis, titubant, fait un pas en avant ou en arrière suivi d’un pas de côté destiné à lui faire retrouver un équilibre plus que précaire. Il va ensuite continuer sa marche aléatoire en faisant systématiquement un pas en avant ou en arrière, suivi d’un pas de côté. À chaque fois, il a autant de chance de faire un pas en avant qu’un pas en arrière, et autant de chance de faire ensuite un pas à gauche qu’un pas à droite.

L’ivrogne peut-il se retrouver exactement à son point de départ après dix pas ?

 

Après dix pas, l’ivrogne a fait un nombre impair (cinq) de pas vers l’avant ou l’arrière, ainsi qu’un nombre impair (cinq) de pas vers la gauche ou la droite. Il ne peut donc en aucun cas se retrouver à son point de départ. Ceci ne peut se produire que pour un nombre de pas égal à un multiple de 4.

Quelle est alors la probabilité pour que l’ivrogne se retrouve à son point de départ après douze pas ?

 

Assimilons le parvis du monument au plan complexe. Désignons par +i un déplacement d’un pas en avant, par –i un déplacement d’un pas en arrière, par +1 un déplacement d’un pas à droite et par –1 un déplacement d’un pas à gauche. Le déplacement total effectué après avoir effectué douze pas peut se noter :

± i ± 1 ± i ± 1 ± i ± 1 ± i ± 1 ± i ± 1 ± i ± 1.

L’ivrogne sera revenu à son point de départ si cette somme vaut 0.

Considérons la somme des i : ± i ± i ± i ± i ± i ± i. Cette somme peut s’écrire de 26 façons différentes, parmi lesquelles vingt seulement ont pour valeur 0. De même, ± 1 ± 1 ± 1 ± 1 ± 1 ± 1 peut s’écrire de 26 façons différentes, parmi lesquelles vingt ont pour valeur 0. La probabilité pour que l’ivrogne se retrouve à son point de départ est donc égale à (20 / 26)2 = (5/16)2 = 0,31252 = 0,09765625, soit un peu moins de 10 %.

1. Quelle serait cette probabilité après 4n pas (avec n > 3) ?

 

Le lendemain, au même endroit, le même policier doit faire circuler un autre ivrogne qui, à son tour, est sommé de quitter le parvis. Mais celui-ci est arithmomane : il ne peut s’empêcher de compter ses pas tout en marchant. Il commence par faire un pas dans une direction, puis il effectue deux pas dans une direction perpendiculaire à la précédente, puis trois pas à nouveau dans une direction perpendiculaire à la précédente, etc. À chaque fois, il tourne dans une direction perpendiculaire à la précédente, aléatoirement d’un côté ou de l’autre, et augmente le nombre de pas effectués dans cette direction d’une unité.

Au bout de combien de pas, au minimum, notre ivrogne arithmomane peut-il se retrouver à son point de départ ?

 

En reprenant l’idée du plan complexe, on se trouve avec un déplacement de la forme

± i ± 2 ± 3i ± 4 ± 5i ± 6 ± 7i ± 8 ± …

Là encore, il faut que les sommes ± i ± 3i ± 5i ± 7i ± … et ± 2 ± 4 ± 6 ± 8 ± … soient toutes les deux nulles.

La première somme nécessite au minimum quatre termes pour s’annuler (i – 3i – 5i + 7i = 0) et la seconde peut s’annuler avec trois termes (2 + 4 – 6 = 0). L’ivrogne pourra donc se retrouver à son point de départ au minimum après vingt-huit pas (en sept étapes).

2. Quels sont les nombres d’étapes pouvant éventuellement permettre à l’ivrogne arithmomane de revenir à son point de départ ?

 

On pourra poursuivre cette réflexion en cherchant si, dans les cas favorables, on peut toujours obtenir de cette façon un polygone non croisé ayant pour longueurs de ses côtés, dans cet ordre, 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm…, mais cela devient plus ardu.

 

 

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